Question

4．在平面直角坐标系内xOy中，过双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上动点A分别作x轴，y轴的垂线段AB，AC，线段AB，AC与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞，0＜k＜6）分别交于E，F，记△OEF面积S₁，记△AEF的面积为S₂，则S=S₁-S₂的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设点A的坐标为（m，$\frac{6}{m}$），再表示出点E、F的坐标，从而可得AE、AF的长，根据S₁=S_梯形AFOB-S_△OBE-S_△AEF用含k的式子表示出S₁、根据三角形面积公式表示出S₂，继而可得含k的式子表示出的S，配方后即可得S的最大值．

解答 解：设点A的坐标为（m，$\frac{6}{m}$），
则点E（m，$\frac{k}{m}$），点F（$\frac{mk}{6}$，$\frac{6}{m}$），
∴AF=m-$\frac{mk}{6}$，AE=$\frac{6}{m}$-$\frac{k}{m}$=$\frac{6-k}{m}$，
则S₁=S_梯形AFOB-S_△OBE-S_△AEF
=$\frac{1}{2}$•（m-$\frac{mk}{6}$+m）•$\frac{6}{m}$-$\frac{1}{2}$m•$\frac{k}{m}$-$\frac{1}{2}$•（m-$\frac{mk}{6}$）•$\frac{6-k}{m}$
=-$\frac{1}{12}$k²+3，
S₂=$\frac{1}{2}$•（m-$\frac{mk}{6}$）•$\frac{6-k}{m}$=$\frac{1}{12}$k²-k+3，
∴S=S₁-S₂=-$\frac{1}{12}$k²+3-（$\frac{1}{12}$k²-k+3）
=-$\frac{1}{6}$k²+k
=-$\frac{1}{6}$（k-3）²+$\frac{3}{2}$，
∴当k=3时，S取得最大值，最大值为$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，设出点A坐标，分别表示出AE、AF的长及S₁、S₂关于k的解析式是解题的关键．