Question

7．如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC，AF⊥AB，且AE=AC，AF=AB，求证：AD=$\frac{1}{2}$EF．

Answer 1

分析 延长AD至M 使AD=DM，证得△ACD≌△BDM，得到AC=BM=AE，∠C=∠MBD，进而证得∠ABM=∠FAE，AF=AC=BM，AB=AE，再证明△AEF≌△ABM，得到AM=EF，即可得到结论．

解答 证明：延长AD至M 使AD=DM，连接BM，
在△ACD≌△BDM，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DM}\\{∠BDM=∠ADC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BDM，
∴AC=BM=AE，∠C=∠MBD，
∴∠ABM=∠ABC+∠MBD=∠ABC+∠C=180°-∠BAC，
∵∠FAE=90°+90°-∠BAC=180°-∠BAC，
∴∠ABM=∠FAE，
∴AF=AC=BM，AB=AE，
在△AEF和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠FAE=∠ABM}\\{AF=BM}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ABM，
∴AM=EF，
∴AD=$\frac{1}{2}$EF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．