Question

20．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称矩形，正方形；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标．
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB=30°．求证：DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．
（4）若将图2中△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转a度（0°＜a＜90°），得到△DBE，连接AD、DC，则∠DCB=（$\frac{1}{2}$α）°，四边形BECD是勾股四边形．

Answer 1

分析 （1）根据勾股四边形的定义，可知正方形、矩形直角梯形都是勾股四边形；
（2）如图1中，以OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标为（3，4）或（4，3）；
（3）如图2，连接CE，只要证明△DCE是直角三角形即可解决问题．
（4）如图3，当∠DCB=$\frac{1}{2}$α，四边形BECD是勾股四边形．连接CE，只要证明△DCE是直角三角形即可解决问题．

解答 解：（1）矩形，正方形；         
故答案为矩形，正方形；          

（2）如图1所示：M（3，4），M（4，3）；     


（3）证明：如图2，连接CE，

由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
又∵∠CBE=60°，
∴△CBE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
∴即四边形ABCD是勾股四边形．                        

（4）如图3，当∠DCB=$\frac{1}{2}$α，四边形ABCD是勾股四边形．
理由：连接CE，

由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
又∵∠CBE=α，
∴∠BCE=∠BEC=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴即四边形BECD是勾股四边形．
故答案为：$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．