Question

12．如图所示，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=10，D为△ABC外的一点，连结AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，DH的延长线交AC于E．
（1）如图1，若BD=AB，且$\frac{HB}{HD}$=$\frac{3}{4}$，求AD的长；
（2）如图2，若△ABD是等边三角形，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件求出DH、BH、AH的值，由勾股定理即可求出AD的长；
（2）利用等边三角形的性质及勾股定理先计算出DH的长，再利用三角形的中位线可求出EH，则DE的长可求解．

解答 解：（1）∵DH⊥AB，$\frac{HB}{HD}$=$\frac{3}{4}$，
∴可设HB=3k，则HD=4k，
∴根据勾股定理得：DB=5k，
∵BD=AB=10，
∴5k=10，
解得：k=2，
∴DH=8，BH=6，AH=4，
∴AD=$\sqrt{A{H}^{2}+H{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
（2）∵△ABD是等边三角形，AB=10，
∴∠ADB=60°，AD=AB=10，
∵DH⊥AB，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，即∠AEH=45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴EH=AH=5，
∴DE=DH+EH=5$\sqrt{3}$+5．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定、等边三角形的性质，勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形和等边三角形的性质，正确运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．