如图.抛物线y=ax2-6ax-16a与x轴交于A.B两点.与y轴正半轴交于点C.且∠ACB=90°.点P是直线BC上方抛物线上的一个动点．(1)请直接写出A.B.C三点的坐标及抛物线的解析式,(2)连接PB.以BP.BC为一组邻边作平行四边形BCDP.当平行四边形BCDP的面积最大时.求P.D两点的坐标,(3)若点Q是x 轴上一动点.是否存在以P.C.Q为顶点的三角形为等腰直角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．如图，抛物线y=ax²-6ax-16a（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，且∠ACB=90°，点P是直线BC上方抛物线上的一个动点．
（1）请直接写出A，B，C三点的坐标及抛物线的解析式；
（2）连接PB，以BP，BC为一组邻边作平行四边形BCDP，当平行四边形BCDP的面积最大时，求P，D两点的坐标；
（3）若点Q是x 轴上一动点，是否存在以P，C，Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）由抛物线解析式可求得A、B两点坐标，再利用相似三角形可求得OC的长，可求得C点坐标，则可求得抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，连接PC，设P点坐标为（m，n），平行四边形BCDP的面积为S，可用m表示出四边形BCDP的面积，再利用二次函数的性质可求得其取得最大值时的P、D的坐标；
（3）分点C、点Q、点P分别为直角顶点，构造三角形全等，分别求解即可．

解答解：
（1）在y=ax²-6ax-16a中，令y=0可得0=ax²-6ax-16a，解得x=-2或x=8，
∴A（-2，0），B（8，0），
∴OA=2，OB=8，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=∠OCB+∠CBO=90°，
∴∠ACO=∠CBO，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{AO}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，即OC²=OA•OB=2×8=16，
∴OC=4，
∴C（0，4），
∴-16a=4，解得a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{3}{2}x+4$；
（2）过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，连接PC，如图1，

设P点坐标为（m，n），平行四边形BCDP的面积为S，
则$PE=n=-\frac{1}{4}{m^2}+\frac{3}{2}m+4$，OE=m，BE=8-m，
∵∠COB=∠FEB=90°，∠CBO=∠FBE，
∴△BEF∽△BOC，
∴$\frac{EF}{OC}$=$\frac{BE}{OB}$，
∴EF=$\frac{OC•BE}{OB}$=-$\frac{1}{2}$m+4，
∴PF=PE-EF=-$\frac{1}{4}$m²+2m，
∴S=2S_△PBC=2（S_△PFC+S_△PFB）=2（$\frac{1}{2}$PF•OE+$\frac{1}{2}$PF•BE）=PF•OB=8PF=-2m²+16m=-2（m-4）²+32，
∵-2＜0，
∴当m=4时，平行四边形BCDP的面积S最大，此时$n=-\frac{1}{4}{m^2}+\frac{3}{2}m+4=6$，
∴P点的坐标为（4，6），由平移可得此时D点的坐标为（-4，10）；
（3）存在以P，C，Q为顶点的三角形为等腰直角三角形．
当点C为直角顶点时，如图2，

过P₁作P₁G₁⊥y轴于点G₁，则可证得△COQ₁≌△P₁G₁C，
∴P₁G₁=OC=4，
∴P₁（4，6），则CG₁=OQ₁=2，
∴Q₁（2，0）；
当Q为直角顶点和点P为直角顶点时，同理可求得P₂（$1+\sqrt{33}$，$-3+\sqrt{33}$），Q₂（$-3+\sqrt{33}$，0），P₃（$1+\sqrt{17}$，$1+\sqrt{17}$），Q₃（$-2+2\sqrt{17}$，0），
综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P₁（4，6），Q₁（2，0），P₂（$1+\sqrt{33}$，$-3+\sqrt{33}$），Q₂（$-3+\sqrt{33}$，0），P₃（$1+\sqrt{17}$，$1+\sqrt{17}$），Q₃（$-2+2\sqrt{17}$，0）．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质、方程思想和分类讨论思想．在（1）中求得A、B、C点的坐标是解题的关键，在（2）中，用m表示出四边形BCDP的面积是解题的关键，在（3）中分三种情况分别构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．