Question

5． 如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．
（1）求点A到BM的距离；
（2）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是②③；（填写所有符合条件的序号）
①AC=13；②tan∠ACB=$\frac{12}{5}$；③连接AC，△ABC的面积为126．
（3）在（2）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC，由AD=AB•sinB可得；
（2）根据AC的长大于点A到直线的距离可判断①，利用AAS可判断②，根据平行线间的距离可判断③；
（3）②：先求得BD=AB•cosB=16，再求得CD=$\frac{AD}{tan∠ACB}$=5即可；③：作CE⊥AB，根据面积得出CE=12.6，由BC=$\frac{CE}{sinB}$可得答案．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，
∴AD=AB•sinB=12；

（2）①以点A为圆心、13为半径画圆，与BM有两个交点，不唯一；
②由tan∠ACB=$\frac{12}{5}$知∠ACB的大小确定，在△ABC中，∠ACB、∠B及AB确定，此时的三角形唯一；
③AB的长度和三角形的面积均确定，则点C到AC的距离即可确定，则BM上的点C是唯一的；
故答案为：②③；

（3）方案一：选②，
由（1）得，AD=12，BD=AB•cosB=16，
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，

∴CD=$\frac{AD}{tan∠ACB}$=5，
∴BC=BD+CD=21．
方案二：选③，
作CE⊥AB于E，则∠BEC=90°，
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CE得CE=12.6，
在Rt△BEC中，
∵∠BEC=90°，
∴BC=$\frac{CE}{sinB}$=21．

点评 本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．