题目内容
8．如图1，点A、D是抛物线y=-x2+1上两动点，点B、C在x轴上，且四边形ABCD是矩形，点E是抛物线与y轴的交点，连接BE交AD于点F，AD与y轴的交点为点G．设点A的横坐标为a（0＜a＜1）．
（1）若矩形ABCD的周长为3.5，求a的值；
（2）求证：不论点A如何运动，∠EAD=∠ABE；
（3）若△ABE是等腰三角形，
①求点A的坐标；
②如图2，若将直线BA绕点B按逆时针方向旋转至直线l，设点A、C到直线l的距离分别为d1、d2，求d1+d2的最大值．
分析 （1）由题意y轴是抛物线的对称轴，也是矩形ABCD的对称轴，根据矩形的周长列出方程即可解决问题；
（2）如图1中，首先构建二次函数证明DE⊥BE，再证明A、B、D、E四点共圆，即可解决问题；
（3）①观察图形可知当△AEB是等腰三角形时，只有AE=AB．在Rt△AEG中，根据AE2=EG2+AG2，可得（-a2+1）2=（1+a2-1）2+a2，求出a即可解决问题．
②如图3中，过点A作AM∥直线l，CP⊥直线l于P，AH⊥直线L于H，延长CP交AM于M．则四边形AHPM是矩形，由PM=AH=d1，推出d1+d2=CP+AH=CP+PM=CM，
所以欲求d1+d2的最大值，只要求CM的最大值即可，当点M与点A重合时CM的值最大．
解答 解：（1）由题意y轴是抛物线的对称轴，也是矩形ABCD的对称轴，
∴A、D关于y轴对称，
∴DG=AG，
∵A（a，-a2+1），
由题意2[2a+（-a2+1）]=3.5，
解得a=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$（舍弃），
∴a=$\frac{1}{2}$．
（2）如图1中，
∵A（a，-a2+1），E（0，1），D（-a，-a2+1），
∴直线EB的解析式为y=-$\frac{1}{a}$x+1，直线DE的解析式为y=ax+1，
∵-$\frac{1}{a}$×a=-1，
∴DE⊥EB，设BD交OE于P，
∵PG∥AB，DG=GA，
∴DP=PB，
∴PD=PE=PA=PB，
∴A、B、D、E四点共圆，
∵$\widehat{DE}$=$\widehat{DE}$，
∴∠EAD=∠ABE．
（3）?观察图形可知当△AEB是等腰三角形时，只有AE=AB．
在Rt△AEG中，∵AE2=EG2+AG2，
∴（-a2+1）2=（1+a2-1）2+a2，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍弃），
∴点A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）；
②如图3中，过点A作AM∥直线l，CP⊥直线l于P，AH⊥直线L于H，延长CP交AM于M．则四边形AHPM是矩形，
∴PM=AH=d1，
∴d1+d2=CP+AH=CP+PM=CM，
欲求d1+d2的最大值，只要求CM的最大值即可，
在Rt△ACM中，CM＜AC，
∴当点M与点A重合时CM的值最大，此时CM=CA，
∴d1+d2的最大值=AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$．
点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、矩形的性质、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助圆，利用圆的有关知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于D，∠A=50°，那么∠D=65°．
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，则AB=5，DH=$\frac{24}{5}$．
在四边形ABCD中，已知∠B=60°，∠1=120°，AB与CD平行吗？AD与BC平行吗？
如图所示，在正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使得∠BAE=15°，连接AE、CE，延长CE到F，连接BF，使得BC=BF．若AB=1，有下列结论：①AE=EC；②F到BC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；③BE+EC=EF；④S△EBF=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．其中正确结论的序号是①③④．