Question

6．如图，AB=AC，CD⊥AB．BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：BD=CE；
（2）连接BC，AO，并延长AO交BC于点F，试判断直线AF与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据垂直定义求出∠ADC=∠AEB=90°，根据AAS推出△ABE≌△ACD，根据全等三角形的判定推出AD=AE，根据AB-AD=AC-AC，即可解答；
（2）求出∠ADC=∠AEB=90°，根据HL推出Rt△ADO≌Rt△AEO，根据全等三角形的性质推出∠DAO=∠EAO，根据等腰三角形的性质推出即可．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在△ABE和△ACD中
 $\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAD}\\{∠AEB=∠ADC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$ 
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AE-AC，
即BD=CE．
（2）如图，

∵∠ADC=∠AEB=90°，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AO}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO=∠EAO，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△ABE≌△ACD和Rt△ADO≌Rt△AEO，难度适中．