Question

5．如图，已知在等边△ABC中，D为AB上一点，F为射线AC上一点，连DF交BC于点E，且DE=FE，BE=5，BD：DA=1：4，则AD的长度为$\frac{20}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，构建出全等的三角形，过点D作DM∥AC交BC于点M，可得到△DMB为等边三角形，可得到BD=BM；根据平行，易证△DEM≌△FEC，推出ME=CE，根据等边三角形及BD：DA=1：4，设未知数，表示出BM、EM的长度，进而求得AD的长度．

解答 解：如图，过点D作DM∥AC，交BC于点M，则△DMB为等边三角形，
∴BD=BM；
∵DM∥AC，
∴∠F=∠EDM，
∵∠CEF=∠MED，DE=FE，
在△DEM和△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDM=∠F}\\{DE=FE}\\{∠DEM=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△FEC（ASA），
∴ME=CE；
∵BD：AD=1：4，
故可设BD为x，则AD为4x，
∵DM∥AC，
∴BM：MC=BD：AD=1：4，
∴BM=x，ME=CE=2x，
∵BE=5，
∴BM+ME=5，即：x+2x=5，解得：$x=\frac{5}{3}$，
∴$AD=4x=4×\frac{5}{3}=\frac{20}{3}$．

点评 本题主要考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定的综合运用，构建全等的三角形，作出正确的辅助线是解决此题的关键．