Question

如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．
下列判断正确的有（　　）
①△ABE≌△DCE；②BE=EC；③BE⊥EC；④EC=

5

DE．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：压轴题

分析：根据AC=2AB，点D是AC的中点求出AB=CD，再根据△ADE是等腰直角三角形求出AE=DE，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCE全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC，然后推出∠BEC=∠AED，从而判断出③小题正确；根据等腰直角三角形斜边等于直角边的

2

倍，用DE表示出AD，然后得到AB、AC，再根据勾股定理用DE与EC表示出BC，整理即可得解，从而判断出④小题正确．

解答：解：∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴CD=

1

2

AC=AB，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△ABE和△DCE中，

AB=CD ∠BAE=∠CDE AE=DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），故①小题正确；
∴BE=EC，∠AEB=∠DEC，故②小题正确；
∵∠AEB+∠BED=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，
∴BE⊥EC，故③小题正确；
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=

2

DE，
∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴AB=

2

DE，AC=2

2

DE，
在Rt△ABC中，BC²=AB²+AC²=（

2

DE）²+（2

2

DE）²=10DE²，
∵BE=EC，BE⊥EC，
∴BC²=BE²+EC²=2EC²，
∴2EC²=10DE²，
解得EC=

5

DE，故④小题正确，
综上所述，判断正确的有①②③④共4个．
故选D．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据△ADE是等腰直角三角形推出AE=DE，∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键，也是解决本题的突破口．