Question

有很多种方法可以将2001写成25个自然数之和，对于每一种写法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这个最大公约数的最大值是多少？

Answer 1

考点：约数与倍数

专题：

分析：根据2001=3×23×29=69×（1×24+5），即2001可写成：24个69、1个69×5=345的和，或23个69、1个69×2=138，1个69×4=276的和，或23个69、2个69×3=207的和，或22个69、2个69×2=138，1个69×3=207的和，或21个69、4个69×2=138的和，这25个自然数的最大公因数必定能整除3×23×29．这些公因数中的最大值不可能超过3×29=87，否则这25个之和必定大于2001，所以最大值是3×23=69，它们的最大公因数都是69．

解答：解：因为2001=3×23×29=69×（1×24+5），
从 69×（1×24+5）可以看题目需要分多少份（本题是25份），
可以是：24个69、1个69×5=345的和，或23个69、1个69×2=138，1个69×4=276的和，
或23个69、2个69×3=207的和，或22个69、2个69×2=138，1个69×3=207的和，或21个69、4个69×2=138的和，
不管是那种情况，25个数中要么是69，要么是69的倍数，
所以他们的最大公因数都是69．
答：这个最大公因数的最大值是69．

点评：此题主要考查公因数和公倍数问题，注意根据分解质因数情况确定多个数的最大公因数情况．