Question

如图，抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于A、B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若直线y=kx-1（k≠0），将四边形ABCD面积二等分，求k的值．
（3）设（2）中直线y=kx-1（k≠0）分别交x轴、y轴于E、F，在抛物线上是否存在点P，使得△AEF与△PEF面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据求出点B、D的坐标，可知四边形ABCD是等腰梯形，再根据二等分梯形面积的直线必过连接两底边中点的线段的中点，然后求出中点的坐标，代入直线即可求出k值；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等可得点P在到EF的距离等于点A到EF距离相等的直线上，然后求出点P所在的直线，与抛物线联立求解即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2），
∴

a+3a+b=0 9a-3×3a+b=2

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）令x=0，则y=2，；
令y=0，则-

1

2

x²+

3

2

x+2=0，
整理得，x²-3x-4=0，
解得，x₁=-1，x₂=4，
所以，点D（0，2），点B（4，0），
∵A（-1，0），C（3，2），
∴AB∥CD，且AD=BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
连接两底边中点的线段的中点坐标为（

3

2

，1），
∵直线y=kx-1（k≠0），将四边形ABCD面积二等分，
∴直线必过点（

3

2

，1），
∴

3

2

k-1=1，
解得k=

4

3

；

（3）存在．理由如下：
由（2）得，直线解析式为y=

4

3

x-1，
令y=0，则

4

3

x-1=0，解得x=

3

4

，
所以，点E（

3

4

，0），
∵△AEF与△PEF面积相等，
∴点P在过点A且与直线EF平行的直线上，或在过点A关于点E的对称点且与直线EF平行的直线上，
①点P在过点A且与直线EF平行的直线上时，设直线的解析式为y=

4

3

x+b₁，
则

4

3

×（-1）+b₁=0，
解得b₁=

4

3

，
所以，直线的解析式为y=

4

3

x+

4

3

，
联立

y= 4 3 x+ 4 3 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2

，
解得

x1=-1 y1=0

（舍去），

x2= 4 3 y2= 28 9

，
此时，点P的坐标为（

4

3

，

28

9

），
②∵

3

4

×2-（-1）=

5

2

，
∴点P关于点E的对称点A′为（

5

2

，0），
设直线的解析式为y=

4

3

x+b₂，
则

4

3

×

5

2

+b₂=0，
解得b₂=-

10

3

，
所以，直线解析式为y=

4

3

x-

10

3

，
联立

y= 4 3 x- 10 3 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2

，
解得

x1= 1+ 385 6 y1= -28+ 385 9

，

x2= 1- 385 6 y2= -28- 385 9

，
∴点P的坐标为（

1+ 385

6

，

-28+ 385

9

）或（

1- 385

6

，

-28- 385

9

），
综上所述，抛物线上存在点P（

4

3

，

28

9

）或（

1+ 385

6

，

-28+ 385

9

）或（

1- 385

6

，

-28- 385

9

），使得△AEF与△PEF面积相等．

点评：本题综合考查了二次函数，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点的求解，等底等高的三角形的面积相等的性质，（2）明确二等分梯形的直线必过连接两底边中点的线段的中点是解题的关键，也是求解本题的突破口．