Question

1．如图，梯子AB靠在墙上，记墙根为C，且∠CBA=20°，现将梯子A向外移到A′，同时梯子的顶端B下移至B′，且∠CB′A′=30°．若梯子AB的长度为6m，求梯子AB的中点O划过的路程．

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半确定∠OCO′的度数，根据弧长公式求出梯子AB的中点O划过的路程．

解答 解：∵∠ACB=90°，O为AB的中点，
∴CO=OB，
∴∠OCB=∠CBA=20°，
∵∠CB′A′=30°，
∴∠CA′B′=60°
∵∠ACB=90°，O′为A′B′的中点，
∴CO′=O′A′，
∴∠O′CA′=∠CA′B′=60°，
∴∠OCO′=10°，
故梯子AB的中点O划过的路程$\widehat{OO′}$为：$\frac{10×π×3}{180}$=$\frac{1}{6}$π．

点评 本题考查的是直角三角形的性质、圆的轨迹和弧长的计算，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、确定梯子AB的中点O划过的轨迹、正确运用弧长公式是解题的关键．