Question

6．当a，b，c是实数时．求证：方程x²-（a+b）x+（ab-c²）=0必有两个实数根．并求两根相等的条件．

Answer 1

分析 先计算判别式的值，得到△=（a+b）²-4（ab-c²），利用完全平方公式得到△=（a-b）²+4c²，则根据非负数的性质可判断△≥0，于是根据判别式的意义可判断方程必有两个实数根；根据判别式的意义，当△=0时，方程有两个相等的实数解，则利用非负数的性质易得a-b=0，c=0．

解答 证明：△=（a+b）²-4（ab-c²）
=（a-b）²+4c²，
∵（a-b）²≥0，4c²≥0，
∴△≥0，
∴方程x²-（a+b）x+（ab-c²）=0必有两个实数根，
当△=0时，方程有两个相等的实数解，此时a-b=0，c=0，即a=b，c=0．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．