Question

如图，直线y=

2

3

x+4m（常数m＞0）交x轴于点A，交y轴于点B，四边形AOBC 是以OA、OB为边的梯形，OA∥BC，将梯形AOBC顺时针旋转90°到A′OB′C′，连接B′C交y轴于D．
（1）请写出A′、B′的坐标（用含m的式子表示）；
（2）当四边形A′DB′C′为平行四边形时，求C点的坐标；
（3）若抛物线y=ax²+bx+c在（2）的条件下过A、B、C三点且与线段B′C交于另一点E，连接A′E，求S_△A'DE：S_{四边形AOBC}的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令y=0求出x的值，得到点A的坐标，令x=0，求出y的值得到点B的坐标，再根据旋转的性质即可得到点A′、B′的坐标；
（2）设BC=x，根据旋转变换的性质可得B′C′=x，再根据平行四边形的对边相等可得A′D=x，然后求出△BCD和△B′OD相似，根据相似三角形对应边成比例列式用x表示出BD，再根据A′D=A′B+BD，代入数据得到关于x的方程，解方程即可得到点C的坐标；
（3）利用待定系数法求函数解析式，分别求出直线B′C与抛物线的解析式，然后联立求出点E的坐标，再根据三角形的面积公式求出△A′DE的面积，利用梯形的面积公式求出四边形AOBC的面积，然后相比即可得解．

解答：解：（1）令y=0，则

2

3

x+4m=0，解得x=-6m，
令x=0，则y=4m，
所以，点A（-6m，0），B（0，4m），
∵梯形AOBC逆时针旋转90°到A₁OB₁C₁，
∴OA′=0A=6m，OB′=OB=4m，
∴A′（0，6m），B′（4m，0）；

（2）设BC=x，根据旋转的性质，B′C′=x，
∵四边形A′DB′C′为平行四边形，
∴A′D=B′C′=x，
∵OA∥BC，
∴△BCD∽△B′OD，
∴

BC

OB′

=

BD

OD

，
即

x

4m

=

BD

6m-x

，
解得BD=

x(6m-x)

4m

，
又∵A′D=A′B+BD，
∴x=（6m-4m）+

x(6m-x)

4m

，
整理得，x²-2mx-8m²=0，
解得x₁=-2m，x₂=4m，
∵常数m＞0，
∴x=4m，
即BC=4m，
∴C点坐标为（-4m，4m）；

（3）设直线B′C解析式为y=kx+b，
∵B′（4m，0），C（-4m，4m），
∴

4mk+b=0 -4mk+b=4m

，
解得

k=- 1 2 b=2m

，
∴直线B′C：y=-

1

2

x+2m，
∵A（-6m，0），B（0，4m），C（-4m，4m），
∴

36m2a-6mb+c=0 c=4m 16m2a-4mb+c=4m

，
解得

a=- 1 3m b=- 4 3 c=4m

，
∴抛物线解析式为y=-

1

3m

x²-

4

3

x+4m，
联立

y=- 1 2 x+2m y=- 1 3m x2- 4 3 x+4m

，
解得

x1= 3 2 m y1= 5 4 m

，

x2=-4m y2=4m

（为点C坐标），
∴点E坐标为（

3

2

m，

5

4

m），
∴S_△A′DE=

1

2

×4m•

3

2

m=3m²，S_{四边形AOBC}=

1

2

（4m+6m）×4m=20m²，
∴S_△A′DE：S_{四边形AOBC}=（3m²）：（20m²）=

3

20

．

点评：本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了直线与坐标轴的交点的求解，旋转变换的性质，平行四边形的对边相等的性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式（直线解析式与抛物线解析式），以及联立两函数解析式求交点坐标，综合性较强，本题最大特点是计算过程始终含有常数字母m，使得运算变得较为复杂且容易出错，计算时要仔细认真，避免出错．