Question

6．如图，对称轴为x=1的抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A点坐标为（-1，0）设抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）M为x轴上的一点，当△MCD的周长最小时，求点M的坐标及△MCD的周长．

Answer 1

分析 解：（1）根据题意得出方程组，求出b和c的值，得出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标；
（2）求出C（0，3），得出C点关于x轴的对称点C′（0，-3），连接C′D交x轴于M，则△MCD的周长最小，由待定系数法求出直线C′D的解析式，即可得出M（$\frac{3}{7}$，0），过D作DE⊥y轴于E，得出DE=1，CD=1，C′E=7，由勾股定理求出CD=$\sqrt{2}$，C′D=5$\sqrt{2}$，即可得出△MCD的周长最小值．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2×（-1）}=1}\\{-1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为y═-x²+2x+3，
当x=1时，y=-1+2+3=4，
∴顶点D（1，4）；
（2）当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴C点关于x轴的对称点C′（0，-3），
连接C′D交x轴于M，则△MCD的周长最小，CM=C′M，
设直线C′D的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴k=7，
∴y=7x-3，
当y=0时，7x-3=0，
解得：x=$\frac{3}{7}$，
∴M（$\frac{3}{7}$，0），
过D作DE⊥y轴于E，
∵C（0，3），D（1，4），
∴DE=1，CD=1，C′E=7，
∴CD=$\sqrt{2}$，C′D=5$\sqrt{2}$，
∴△MCD的周长最小值=$\sqrt{2}$+5$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线解析式的求法、轴对称的性质、勾股定理以及最小值问题；由待定系数法求出抛物线的解析式是解决问题的关键．