Question

17．如图，已知二次函数y=ax²+bx-4（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0）且对称轴直线x=1，直线AD交抛物线于点D（2，m）
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P是线段AB上的一动点（点P和点A，B不重合），过点P作PE∥AD交BD于E，连接DP，当△DPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上对称轴上是否存在一点M，使△MAC的周长最小，若存在，求出点M的坐标

Answer 1

分析 （1）根据对称轴和点A的坐标为（-2，0），得到B点坐标为（4，0），将A（-2，0），B（4，0）分别代入解析式y=ax²+bx-4即可；
（2）如图1，作EF⊥x轴于F，求出AD解析式，可得到PE解析式为y=-x+g，设E（t，2t-8），将E（t，2t-8）代入y=-x+g得2t-8=-t+g，即g=3t-8，PE解析式为y=-x+3t-8，求出P点坐标为（3t-8，0），列出S_△DPE=[4-（3t-8）][4-8+2t]=-6t²+36t-48即可求解；
（3）如图2，由点A与点B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于M，则此时△MAC的周长最小，求得直线BC 的解析式为y=x-4，把x=1代入y=x-4得y=-3，于是得到结论．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-2，0）且对称轴直线x=1，B点坐标为（4，0），
将A（-2，0），B（4，0）分别代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-4=0}\\{16a+4b-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-4．
（2）如图1，作EF⊥x轴于F，将点D（2，m）代入y=$\frac{1}{2}$x²-x-4得，m=-4，
则D点坐标为（2，-4），
设AD解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），D（2，-4）分别代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
函数AD解析式为y=-x-2．
∵PE∥AD，
∴PE解析式为y=-x+g．
设BD解析式为y=mx+n，
把B（4，0），D（2，-4）分别代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{2m+n=-4}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-8}\end{array}\right.$，
函数BD解析式为y=2x-8．
则可设E（t，2t-8），将E（t，2t-8）代入y=-x+g得2t-8=-t+g，即g=3t-8，
PE解析式为y=-x+3t-8，
当y=0时，x=3t-8，则P点坐标为（3t-8，0），
S_△DPE=[4-（3t-8）][4-8+2t]=-6t²+36t-48，
当t=-$\frac{36}{2×（-6）}$=3时，S_△DPE的面积最大，
此时，3t-8=3×3-8=1，
得P（1，0）．
（3）存在，
如图2，∵点A与点B关于对称轴对称，
∴连接BC交对称轴于M，
则此时△MAC的周长最小，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴直线BC 的解析式为y=x-4，
∵点M在抛物线的对称轴上，
∴把x=1代入y=x-4得y=-3，
∴M（1，-3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式，二次函数求最值、轴对称最短路径问题，难度较大，值得关注．