Question

12．已知：点M、P、N、Q依次是正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点（不与正方形的顶点重合），给出如下结论：
①MN⊥PQ，则MN=PQ；
②MN=PQ，则MN⊥PQ；
③△AMQ≌△CNP，则△BMP≌△DNQ；
④△AMQ∽△CNP，则△BMP∽△DNQ
其中所有正确的结论的序号是①②③．

Answer 1

分析 连接QM，MP，PN，PQ，过N作NE⊥AB于E，过Q作QF⊥BC于F，得到四边形BCNE，四边形CDQF是矩形，根据矩形的性质得到EN=BC，QF=CD，根据正方形的性质得到AB=BC=CD=AD，证得NE=QF，通过全等三角形的性质得到MN=PQ；根据已知条件得到Rt△PQF≌Rt△MNE，由全等三角形的性质得到∠PQF=∠MNE，根据余角的性质即可得到MN⊥PQ；根据全等三角形的性质得到AM=CN，PC=AQ，由线段的和差得到PB=QD，BM=DN，于是得到△BMP≌△DNQ，由△AMQ∽△CNP和已知条件推不出△BMP∽△DNQ的条件．

解答 解：连接QM，MP，PN，PQ，过N作NE⊥AB于E，过Q作QF⊥BC于F，
则四边形BCNE，四边形CDQF是矩形，
∴EN=BC，QF=CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴NE=QF，
①∵MN⊥PQ，
∴∠PQF=∠MNE，
在△PQF与△MNE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PQF=∠ENM}\\{QF=MN}\\{∠QFP=∠NEM}\end{array}\right.$，
∴△PQF≌△MNE，
∴MN=PQ；
②在Rt△PQF与Rt△MNE中，$\left\{\begin{array}{l}{QF=NE}\\{PQ=MN}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△PQF≌Rt△MNE，
∴∠PQF=∠MNE，
∵∠PQF+∠1=90°，
∴∠MNE+∠1=90°，
∴MN⊥PQ；
③∵△AMQ≌△CNP，
∴AM=CN，PC=AQ，
∴PB=QD，BM=DN，
在△BMP与△DNQ中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=DN}\\{∠B=∠D}\\{PB=DQ}\end{array}\right.$，
∴△BMP≌△DNQ，
④由△AMQ∽△CNP和已知条件推不出△BMP∽△DNQ的条件．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．