Question

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标和对称轴得出方程组，解方程组求出a和b即可；
（2）由平行四边形的性质得出BC∥MN，BC=MN．分两种情况：
①N点在M点下方，设M（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4），则N（x+3，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x），由N在x轴上得出-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x=0，解方程即可；
②M点在N点右下方，设M（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4），则N（x-3，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+8），由N在x轴上得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+4交x轴于A（-2，0），
∴0=4a-2b+4，
∵对称轴是直线x=3，
∴-$\frac{b}{2a}$=3，即6a+b=0，
关于a，b的方程联立为$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{6a+b=0}\end{array}\right.$，
解得 a=-$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；
（2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，
∴BC=MN．
分两种情况：
①N点在M点下方，如图所示：
即M点向下平移4个单位，向右平移3个单位与N重合．
设M（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4），则N（x+3，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x），
∵N在x轴上，
∴-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x=0，
解得 x=0（舍去），或x=6，
∴x_M=6，
∴M（6，4）；
②M点在N点右下方，即N向下平移4个单位，向右平移3个单位与M重合．
设M（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4），则N（x-3，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+8），
∵N在x轴上，∴-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+8=0，
解得 x=3-$\sqrt{41}$，或x=3+$\sqrt{41}$，
∴x_M=3-$\sqrt{41}$或3+$\sqrt{41}$．
∴M₂（3-$\sqrt{41}$，-4）或M₃（3+$\sqrt{41}$，-4）．
综上所述，M的坐标为（6，4）或（3-$\sqrt{41}$，-4）或（3+$\sqrt{41}$，-4）

点评 本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、平行四边形的性质、平移的性质、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度．