Question

6．在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{20}{3}$x+$\frac{16}{3}$的顶点为D，与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）．
（1）求A，B，D三点的坐标；
（2）将抛物线C₁绕B点旋转180°，得到抛物线C₂，再将抛物线C₂沿x轴向右平移得到抛物线C₃，设抛物线C₃与x轴分别交于E，F两点（点E在点F左边），顶点为G，连接AG，DF，若四边形ADFG为矩形．①求B点平移的距离；②求过E，F，G三点抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）对于抛物线y=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{20}{3}$x+$\frac{16}{3}$，令y=0，得到$\frac{4}{3}$x²+$\frac{20}{3}$x+$\frac{16}{3}$=0，解方程可得A、B两点坐标，再利用配方法确定顶点坐标即可．
（2）如图，作GK⊥x轴于G，DH⊥AB于H．由题意GK=DH=3，AH=HB=EK=KF=1.5，由题意△AGK∽△GFK，得$\frac{AK}{GK}$=$\frac{GK}{KF}$，即$\frac{AK}{3}$=$\frac{3}{1.5}$，推出AK=6，BK=3，BF=4.5，OK=2，推出G（2，3），由此即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{20}{3}$x+$\frac{16}{3}$，令y=0，得到$\frac{4}{3}$x²+$\frac{20}{3}$x+$\frac{16}{3}$=0，解得x=-1或-4，
∴A（-4，0），B（-1，0），
∵y=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{20}{3}$x+$\frac{16}{3}$=$\frac{4}{3}$（x+$\frac{5}{2}$）²-3，
∴抛物线的顶点坐标D（-$\frac{5}{2}$，-3）．

（2）如图，作GK⊥x轴于G，DH⊥AB于H．

由题意GK=DH=3，AH=HB=EK=KF=1.5，
∵四边形AGFD是矩形，
∴∠AGF=∠GKF=90°，
∴∠AGK+∠KGF=90°，∠KGF+∠GFK=90°，
∴∠AGK=∠GFK，∵∠AKG=∠FKG=90°，
∴△AGK∽△GFK，
∴$\frac{AK}{GK}$=$\frac{GK}{KF}$，
∴$\frac{AK}{3}$=$\frac{3}{1.5}$，
∴AK=6，BK=3，BE=1.5，OK=2，
∴G（2，3），
∴B点平移的距离为1.5；过E，F，G三点抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{3}$（x-2）²+3．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法，配方法确定顶点坐标、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．