Question

19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=CE；
（2）若KG²=KD•CE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OG．欲证明KE=CE，只要证明∠EGK=∠EKG即可．
（2）由KG²=KD•CE结合条件（1），可以推出△GKD∽△EGK，推出∠E=∠C，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OG．

∵EG是⊙O切线，
∴OG⊥EF，
∴∠OGE=90°，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵DC⊥AB，
∴∠AHK=90°，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．

（2）结论：AC∥EF．
理由：如图2中，连接DG．

∵KG²=KD•GE，
∴$\frac{KG}{KD}$=$\frac{GE}{KG}$，
∴$\frac{KG}{KD}$=$\frac{KE}{KG}$，
∵∠DKG=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，
∵∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、切线的性质、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．