题目内容
如图，在直径为AB的半圆形草坪内划一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其他两边分别为6和8．现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图设计的方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC中边AB上的高h．
（2）设DN=x，当x取何值时，矩形水池DEFN面积y最大？
（3）在实际施工时发现边AB上距点B 1.85处有一棵大树，问：这棵大树是否位于面积最大的水池的边上？
考点：二次函数的应用
专题：
分析：（1）首先利用勾股定理求得AB的长．再利用三角形面积的两种求法解得高h的值．
（2）根据相似形对应边成比例列出矩形面积关于x的关系式S矩形DEFN=-
（x-2.4）2+12，利用二次函数的性质求关系式的最大值．
（3）根据（2）知，知道x的取值，此时S矩形DEFN最大，求得EF、BF的值．再利用勾股定理求得BE的值，并与1.85比较大小．
（2）根据相似形对应边成比例列出矩形面积关于x的关系式S矩形DEFN=-
| 25 |
| 12 |
（3）根据（2）知，知道x的取值，此时S矩形DEFN最大，求得EF、BF的值．再利用勾股定理求得BE的值，并与1.85比较大小．
解答：解：（1）过C作CM⊥AB于M，则CM=h，
在Rt△ABC中，AB=
=
=10，
根据三角形面积公式得：S△ACB=
AC×BC=
AB×h，
∴h=
=
=4.8；
（2）∵如图，NF∥AB，
∴△CNF∽△CAB
∴
=
，
∴NF=
，
∴S矩形DEFN=NF•x=-
（x-2.4）2+12，
则当x=2.4时，S矩形DEFN最大；
（3）当S矩形DEFN最大，x=2.4，
过点C作CM⊥AB于点M，
∵△ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴CM=
=4.8，
∵EF=
CM=2.4，
∴F为BC中点，
BF=
BC=3，
在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3
∴EB=
=
=1.8，
∵距点B 1.85处有一棵大树，
故这棵大树必位于欲修建的水池边上．
在Rt△ABC中，AB=
| AC2+BC2 |
| 82+62 |
根据三角形面积公式得：S△ACB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴h=
| AC×BC |
| AB |
| 8×6 |
| 10 |
（2）∵如图，NF∥AB，
∴△CNF∽△CAB
∴
| h-DN |
| h |
| NF |
| AB |
∴NF=
| 10(4.8-x) |
| 4.8 |
∴S矩形DEFN=NF•x=-
| 25 |
| 12 |
则当x=2.4时，S矩形DEFN最大；
（3）当S矩形DEFN最大，x=2.4，
过点C作CM⊥AB于点M，
∵△ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴CM=
| 8×6 |
| 10 |
∵EF=
| 1 |
| 2 |
∴F为BC中点，
BF=
| 1 |
| 2 |
在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3
∴EB=
| BF2-EF2 |
| 32-2．42 |
∵距点B 1.85处有一棵大树，
故这棵大树必位于欲修建的水池边上．
点评：本题主要考查了二次函数求极值、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．
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