Question

如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与圆⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）直接写出CD的长为

 

．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连结BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB=90°，则可利用勾股定理计算出AC=8；由DC平分∠ACB得∠ACD=∠BCD=45°，根据圆周角定理得∠DAB=∠DBA=45°，则△ADB为等腰直角三角形，所以AD=

2

2

AB=5

2

；
（2）连结OC，由PC=PE得∠PCE=∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC=∠A+∠ACE=∠A+45°，加上∠A=90°-∠ABC，∠ABC=∠OCB，于是可得到∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE=90°，于是根据切线的判定定理可得PC为⊙O的切线；
（3）点I为Rt△ABC的内心，连结BI，作IF⊥BC于F，如图，证明BD=BI，得到BI=DA=5

2

，再根据直角三角形内切圆的半径得IF=2，则CI=2

2

，所以CD=CI+DI=7

2

．

解答：解：（1）连结BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，BC=6，
∴AC=

AB2-BC2

=8；
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD=

2

2

AB=5

2

；
（2）PC与圆⊙O相切．理由如下：
连结OC，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠A+∠ACE=∠A+45°，
而∠A=90°-∠ABC，∠ABC=∠OCB，
∴∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-（∠OCE+45°）+45°，
∴∠OCE+∠PCE=90°，
即∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线；
（3）点I为Rt△ABC的内心，连结BI，作IF⊥BC于F，如图，
∵点I为Rt△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，
∵∠DIB=∠ICB+∠IBC=45°+∠IBC，∠DBI=∠DBA+∠EBI=45°+∠EBI，
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=BI，
∴BI=DA=5

2

，
∵IF=

6+8-10

2

=2，
∴CI=2

2

，
∴CD=CI+DI=7

2

．
故答案为7

2

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．