题目内容

7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1=2x2+fx+h经过点A（0，-2），B（3，4）．
（1）求抛物线y1顶点M的坐标并直接写出在线段AB下方抛物线上的点到对称轴的距离d随x的增大而增大的x的取值范围．
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线y1对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
（3）若把抛物线y1进行适当的平移后的抛物线记为y2，当抛物线y2的顶点刚好落在直线AB上时，抛物线y2与直线AB的另一交点恰好是点B，如果把平移后的抛物线的顶点记为点N，求此时△MNB的面积．

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再配方得出顶点坐标，由图象直接得出满足条件的范围；
（2）借助函数图象直接得出满足条件的t的范围；
（3）先求出平移后抛物线的解析式即可得出N点的坐标，再用面积公式求解．

解答 解：（1）如图1，

∵抛物线y1=2x2+fx+h经过点A（0，-2），B（3，4）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{h=-2}\\{18+3f-2=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f=-4}\\{h=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y1=2x2-4x-2=2（x-1）2-4，
∴M（1，-4），
由图象知，线段AB下方抛物线上的点到对称轴的距离d随x的增大而增大的x的取值范围为1≤x≤3；
（2）如图1，

∵点B（3，4）关于原点的对称点为C，
∴C（-3，-4），
∴CM∥x轴，
∴直线CD与图象G有公共点的点D纵坐标最小值为点M的纵坐标是-4，
过点C作直线BC，
∴由图象知，直线BC与图象G只有一个交点B，
∴直线CD与图象G有公共点的点D纵坐标最大值为点B的纵坐标是4，
∴点D纵坐标t的取值范围为：-4≤t≤4；
（3）如图2，

连接MN，BM，由（1）抛物线的解析式为y1=2x2-4x-2=2（x-1）2-4，
∵A（0，-2），B（3，4），
∴直线AB解析式为y=2x-2，
∴直线AB和x轴相交于点D（1，0），刚好是抛物线y1的对称轴与x轴的交点，
∵当抛物线y2的顶点刚好落在直线AB上时
∴设平移后的抛物线的顶点记为点N（n，2n-2），
∴平移后的抛物线的解析式为y2=2（x-n）2+2n-2，
∵抛物线y2的图象过点B（3，4），
∴4=2（3-n）2+2n-2，
∴n=2或n=3（点N和点B重合不能构成三角形，舍去），
∴N（2，2），
∵M（1，-4），
∴DM=4，
∴S△BMN=S△BDM-S△NDM=$\frac{1}{2}$DM×|xB-xD|-$\frac{1}{2}$DM×|xN-xD|=$\frac{1}{2}$×4×（3-1）-$\frac{1}{2}$×4×（2-1）=2．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的性质，三角形的面积的计算方法，解本题的关键是画出函数图象．

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