Question

2．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P自B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
 （1）当t为何值时，平行四边形AQPD为矩形． 
（2）在点P，Q运动过程中，平行四边形AQPD的面积能否等于18cm²？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由．
（3）当t=$\frac{25}{13}$时，平行四边形AQPD为菱形．

Answer 1

分析 （1）根据△AQP∽△ACB，利用相似三角形的对应边的比相等，即可求解；
（2）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE，利用△APH∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出方程，从而进行判断；
（3）当?AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则 cos∠BAC=$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{AC}{AB}$，据此即可列方程求解．

解答 解：由题意可知：AQ=BP=28，AB=20cm．
（1）∵四边形AQPD是矩形，
∴∠PQA=∠C=90°
又∵∠BAC=∠BAC，
∴△AQP∽△ACB，
∴$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{2t}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$
∴t=$\frac{20}{9}$．
答：当t=$\frac{20}{9}$时，平行四边形AQPD为矩形．

（2）过P作PH⊥AC于H．
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴$\frac{PH}{6}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{PH}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$（10-2t）．
∵S_□AQPD=AQ•PH=18，
∴2t•$\frac{3}{5}$（10-2t）=18，
∴2t²-10t﹢15=0．
∵△=（-10）²-4×2×15
=100-120
=-20＜0
∴不能；

（3）当?AQPD是菱形时，DQ⊥AP，
则 cos∠BAC=$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{AC}{AB}$   
即 $\frac{5-t}{2t}$=$\frac{4}{5}$，
解之  t=$\frac{25}{13}$．
故答案是：$\frac{25}{13}$．

点评 本题是相似形和平行四边形、矩形、菱形的性质和判定定理的综合应用，正确理解平行四边形AQPD为矩形以及?AQPD是菱形的条件是关键．