Question

2．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一定点，AC=6，BC=8，P为⊙O上一动点，过C作CQ⊥CP，交PB延长线于Q．
（1）若AB⊥CP，如图1，求CQ的长；
（2）当P点运动到何处时，△PCQ的内心在线段CB上，请利用图2说明理由并求出CP的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，假设AB与PC交于点H，由△ACH∽△ABC，得$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$，求出AH、BH，再证明BH是△PCQ中位线即可解决问题．
（2）如图2中，当点P是$\widehat{AB}$中点时，BC平分∠PCQ，此时△PCQ的内心在线段BC上．作BM⊥PC于M．，易证△CMB是等腰直角三角形，求出CM、BM，再由
△ABC∽△PBM，得$\frac{BC}{BM}$=$\frac{AC}{MP}$，求出PM即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，假设AB与PC交于点H，

∵AB是直径，PC⊥AB，
∴∠ACB=∠AHC=90°，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AP}$，PH=CH，
∴∠ACH=∠ABC，
∴△ACH∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$，
∴AH=$\frac{18}{5}$，BH=$\frac{32}{5}$，
∵PC⊥CQ，
∴BH∥QC，
∴PB=BQ，
∴CQ=2BH=$\frac{64}{5}$．
（2）如图2中，当点P是$\widehat{AB}$中点时，BC平分∠PCQ，此时△PCQ的内心在线段BC上．作BM⊥PC于M．

∵在RT△BCM中，∠PCB=45°，BC=8，
∴CM=BM=4$\sqrt{2}$，
∵∠ABP=∠ACP=∠MBC=45°，
∴∠PBM=∠ABC，∵∠ACB=∠PMB=90°，
∴△ABC∽△PBM，
∴$\frac{BC}{BM}$=$\frac{AC}{MP}$，
∴$\frac{8}{4\sqrt{2}}$=$\frac{6}{PM}$，
∴PM=3$\sqrt{2}$，
∴PC=CM+PM=7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形内心外心，相似三角形的判定和性质、圆的有关性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．