Question

9．在平面直角坐标系xOy中，对图形W给出如下定义：若图形W上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD的坐标角度是90°．
（1）已知点A（0，-3），B（-1，-1），在点C（2，0），D（-1，0），E（2，-2）中，选一点，使得以该点及点A，B为顶点的三角形的坐标角度为90°，则满足条件的点为D（-1，0）和E（2，-2）；
（2）将函数y=ax²（1≤a≤3）的图象在直线y=1下方的部分沿直线y=1向上翻折，求所得图形坐标角度m的取值范围；
（3）记某个圆的半径为r，圆心到原点的距离为l，且l=3（r-1），若该圆的坐标角度60°≤m≤90°．直接写出满足条件的r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据图形的坐标角度的定义画出图形即可解决问题．
（2）分a=1和a=3两种情形画出图形，根据图形的坐标角度的定义即可解决问题．
（3）分m=60°和m=90°两种情形分别讨论即可解决．

解答 解：（1）如图1中，由图象可知，

∵∠DOA=90°，∠BOE=90°
∴满足条件的点为D（-1，0），E（2，-2）．
故答案为D（-1，0），E（2，-2）．
（2）当a=1时，如图2中，

∵角的两边分别过点A（-1，1），B（1，1），作BE⊥x轴于E，
∴BE=OE，
∴∠BOE=45°，
根据对称性可知∠AOB=90°
∴此时坐标角度m=90°；
当a=3时，如图3中，

角的两边分别过点A（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），B（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），作BE⊥x轴于E，
∵tan∠BOE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BOE=60°，
根据对称性可知∠AOB=60
∴此时坐标角度m=60°，
∴60°≤m≤90°；
（3）∵该圆的坐标角度60°≤m≤90°，圆心到原点的距离为l，
当m=60°时，l=2r，
∵l=3（r-1），
∴2r=3（r-1），
∴r=3，
当m=90°时，l=$\sqrt{2}$r，
∵l=3（r-1），
∴$\sqrt{2}$r=3（r-1），
∴r=$\frac{9+3\sqrt{2}}{7}$，
∴$\frac{9+3\sqrt{2}}{7}$≤r≤3．

点评 本题考查二次函数综合题、图形的坐标角度的定义、圆等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图形，学会利用特殊点或特殊位置解决问题，属于中考常压轴题．