Question

7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列结论正确的有（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S_△ACD：S_△ABD=1：2．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据角平分线的作法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确，根据直角三角形的性质得出AD=2CD，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，进而可得④正确．

解答 解：由题意可知AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴∠ADC=30°+30°=60°，故②正确；
∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
∵∠CAD=30°，
∴AD=2CD．
∵点D在AB的中垂线上，
∴AD=BD，
∴BD=2CD，
∴S_△ACD：S_△ABD=1：2，故④正确．
故选D．

点评 此题考查的是作图-基本作图，角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC度数是解题关键．