Question

18．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形AOCB的顶点A、C分别在y轴和x轴上，E为边AB上的一点且AE=3，反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象过点E．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象与线段BC交于点D，且与过点D的直线y=kx+b相切，直线y=kx+b与线段AB相交于点F，求点F的坐标；
（3）连接OF、OE，试问在直线y=kx+b是否存在一点G，使S_△OCG=3S_△OFE，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出点E坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）由题意可知一次函数为y=kx+3-4k，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{x}}\\{y=kx+3-4k}\end{array}\right.$，消去y得到kx²+（3-4k）x-12=0，根据△=0求出k即可解决问题；
（3）设G（m，-$\frac{3}{4}$m+6），由题意$\frac{1}{2}$×4×|-$\frac{3}{4}$m+6|=3×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×4，解方程求出m即可解决问题；

解答 解：（1）由题意E（3，4），
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象过点E，
∴4=$\frac{m}{3}$，
∴m=12，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$．

（2）∵反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$的图象与线段BC交于点D
∴D（4，3），
∵直线y=kx+b经过D（4，3），
∴4k+b=3，
∴b=3-4k，
∴一次函数为y=kx+3-4k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{x}}\\{y=kx+3-4k}\end{array}\right.$，消去y得到kx²+（3-4k）x-12=0，
由题意△=0，
∴（3-4k）²+48k=0，
解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6，
∴F（$\frac{8}{3}$，4）．

（3）设G（m，-$\frac{3}{4}$m+6），
由题意$\frac{1}{2}$×4×|-$\frac{3}{4}$m+6|=3×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×4，解得m=$\frac{20}{3}$或$\frac{28}{3}$，
∴G（$\frac{20}{3}$，1）或（$\frac{28}{3}$，-1）．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、正方形的性质、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．