Question

已知a，b均为实数，且（a²+1）（b²+1）=4ab，求多项式a²+6ab+9b²的值．

Answer 1

考点：配方法的应用,非负数的性质：偶次方

专题：计算题

分析：先把已知条件展开得到a²b²+a²+b²+1-4ab=0，再利用配方法得到（ab-1）²+（a-b）²=0，然后根据非负数的性质得ab-1=0且a=b，可计算出a=b=±1，再利用完全平方公式得到原式=（a+3b）²=（4a）²，最后把a的值代入计算即可．

解答：解：∵（a²+1）（b²+1）=4ab，
∴a²b²+a²+b²+1-4ab=0，
∴a²b²-2ab+1+a²-2ab+b²=0
∴（ab-1）²+（a-b）²=0，
∴ab-1=0且a=b，
∴a=b=±1，
∴a²+6ab+9b²=（a+3b）²=（4a）²=16．

点评：本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程，配方法的理论依据是公式a²±2ab+b²=（a±b）²；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．