Question

13．如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上
（1）求证：AE²+AD²=2AC²；
（2）如图2，若AE=2，AC=2$\sqrt{5}$，点F是AD的中点，直接写出CF的长是2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）连结BD，由等腰直角三角形的性质得出∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，得出2AC²=AB²．由SAS证明△AEC≌△BDC，得出AE=BD，∠E=∠BDC=45°，CE=CD，证出∠BDA=∠BDC+∠ADC=90°，在Rt△ADB中．由勾股定理即可得出结论；
（2）由（1）得：CE=CD，AE²+AD²=2AC²；得出AD=4，AF=DF=2=AE，得出EF=DA，由SAS证明△CEF≌△CDA，得出CF=CA=2$\sqrt{5}$即可．

解答 （1）证明：连结BD，如图所示：
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2AC²=AB²．
∵∠ECD-ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE=BD，∠E=∠BDC=45°，CE=CD，
∴∠BDA=∠BDC+∠ADC=90°，
在Rt△ADB中．∵AD²+BD²=AB²，
∴AD²+AE²=2AC²．

（2）解：由（1）得：CE=CD，AE²+AD²=2AC²；
∴∠E=∠CDA，2²+AD²=2×（2$\sqrt{5}$）²，
解得：AD=4，
∵点F是AD的中点，
∴AF=DF=2=AE，
∴EF=DA，
在△CEF和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}&{\;}\\{∠E=∠CDA}&{\;}\\{EF=DA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CDA（SAS），
∴CF=CA=2$\sqrt{5}$；
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．