Question

如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD平分∠ABC． 
（1）若BD⊥AC，DF⊥BC，∠3=36°，求∠ABC的度数；
（2）若∠1：∠2=1：2，∠3=40°，∠ABD=35°，求证：DF⊥BC；
（3）若∠2=30°，F为一动点，F从C点出发沿射线CB运动．当△CDF为钝角三角形时，试确定∠3的取值范围（请直接写答案，不必写过程）．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）证△ABD≌△CBD，推出∠BAC=∠C，求出∠C和∠BAC，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）求出∠ABC，求出∠1，∠2，推出∠2=∠3，根据平行线的性质和判定推出即可；
（3）得出两种情况，根据三角形内角和定理得出即可．

解答：解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠BDA=∠BDC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴在△ABD和△CBD中

∠ADB=∠CDB BD=BD ∠ABD=∠CBD

∴△ABD≌△CBD，
∴∠BAC=∠C，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
∵∠3=36°，
∴∠C=90°-36°=54°，
∴∠BAC=54°，
∴∠ABC=180°-∠CAB-∠C=72°；
（2）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABE=35°，
∴∠ABC=2∠ABE=70°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠1=90°-70°=20°，
∵∠1：∠2=1：2，
∴∠2=40°，
∵∠3=40°，
∴∠2=∠3，
∴DF∥AE，
∵AE⊥BC，
∴DF⊥BC；

（3）∵∠AEC=90°，2=30°，
∴∠C=60°，
∴要使△CDF是钝角三角形，有两种情况：①∠3是钝角，
∵∠C=60°，
∴90°＜∠3＜120°；
②∠DFC是钝角，
∵∠C=60°，90°＜∠DFC＜180°，
∴0°＜∠3＜30°．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．