阅读材料:小明在学习二次根式后.发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.如3+2$\sqrt{2}$=2.善于思考的小明进行了以下探索:设a+b$\sqrt{2}$=2.则有a+b$\sqrt{2}$=m${\;}^{2}+{2n}^{2}+2mn\sqrt{2}$．a=m2+2n2.b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b$\sqrt{2}$的式子� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b$\sqrt{2}$=（m+n$\sqrt{2}$）²（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b$\sqrt{2}$=m${\;}^{2}+{2n}^{2}+2mn\sqrt{2}$．
a=m²+2n²，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b$\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，用含m、n的式子分别表示a，b，得a=m²+3n²，b=2mn．
（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：$7+4\sqrt{3}$=（2+$\sqrt{3}$）²．
（3）请化简：$\sqrt{12+6\sqrt{3}}$．

分析（1）利用已知直接去括号进而得出a，b的值；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．

解答解：（1）∵a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，
∴a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²=m²+3n²+2$\sqrt{3}$mn，
∴a=m²+3n²，b=2mn；
故答案为：m²+3n²；2mn；

（2）$7+4\sqrt{3}$=（2+$\sqrt{3}$）²；
故答案为：（2+$\sqrt{3}$）²；

（3）∵12+6$\sqrt{3}$=（3+$\sqrt{3}$）²，
∴$\sqrt{12+6\sqrt{3}}$=$\sqrt{（3+\sqrt{3}）^{2}}$=3+$\sqrt{3}$．