Question

11．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比是（　　）

• A． $\frac{a}{b}$
• B． $\frac{{a}^{2}}{b}$
• C． $\frac{b}{a}$
• D． $\frac{{b}^{2}}{a}$

Answer 1

分析 设锅炉的高h，底面直径d，根据圆柱的表面积计算公式列出函数关系式，然后求其最值．

解答 解：设锅炉的高h与底面直径d的比是$\frac{h}{d}$=k，
${∵（\frac{d}{2}）}^{2}π•h=v=\frac{{πd}^{2}}{4}•kd={\frac{πk}{4}d}^{3}$，
∴$d=\root{3}{\frac{4v}{πk}}$，h=kd=$\root{3}{\frac{4{vk}^{2}}{π}}$，
设造价为y，则y=2π${•（\frac{d}{2}）}^{2}$•a+πd•h•b=$\frac{πa}{2}$$•\root{3}{\frac{1{6v}^{2}}{{π}^{2}}}{•k}^{-\frac{2}{3}}$+πb$•\root{3}{\frac{1{6v}^{2}}{{π}^{2}}}$${•k}^{\frac{1}{3}}$，
∴y′=$\frac{πa}{2}$$\root{3}{\frac{1{6v}^{2}}{{π}^{2}}}$$•（-\frac{2}{3}）$${k}^{-\frac{5}{3}}$+πb$\root{3}{\frac{1{6v}^{2}}{{π}^{2}}}$$\frac{1}{3}$${k}^{-\frac{2}{3}}$，
令y′=0，k=$\frac{a}{b}$时，y=ymin，
∴当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比是$\frac{a}{b}$，
故选A．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用，熟记公式是解题的关键．