Question

如图，已知一次函数y=-

1

3

x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标及线段的AB的长度；
（2）在如图的坐标系中给△AOB拼接一个直角三角形（不重叠且无缝隙的拼接），使得拼成的图形是以AB为边的等腰△ABP的顶点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：常规题型

分析：（1）根据直线AB的解析式可以求得A，B的坐标，即可求得AB的长度；
（2）分3种情况讨论：①BP=BA，②AP=AB，③PA=PB．

解答：解：（1）直线AB解析式为y=-

1

3

x+1，
∵x=0时，y=1，
∴点B坐标为（0，1）
∵y=0时，x=3，
∴点A坐标为（3，0）
AB=

12+32

=

10

．
（2）如图，

①点B为直角，则存在点P和P'满足BP=BA，
∵PB⊥AB，
∴直线PB的斜率为3，
设直线PB为y=3x+b，代入点B得：b=1，
∴直线PB解析式为y=3x+1，
设P点坐标为（x，3x+1），则x²+（3x+1-1）²=10，
解得x=1或-1，y=4或-2，
∴P点坐标为（1，4），（-1，-2）．

②点A为直角，则存在点P满足满足AP=BA，
∵PB⊥AB，
∴直线AP的斜率为3，
设直线PA为y=3x+b，代入点A得：b=-9，
∴直线PB解析式为y=3x-9，
设P点坐标为（x，3x-9），
则（x-3）²+（3x-9）²=10，
解得x=2或4，y=-3或3．
∴P点坐标为（2，-3），（4，3）．

③C为AB中点，点C中点为（

3

2

，

1

2

）则存在点P满足满足CP=BC，
∵PC⊥AB，
∴直线CP的斜率为3，
设直线PC为y=3x+b，代入点C得：b=-4，
∴直线PC解析式为y=3x-4，
设P点坐标为（x，3x-4），
则(x-

3

2

)2+(3x-4-

1

2

)2=

10

4

，
解得x=1或2，y=-1或2，
∴P点坐标为（1，1），（2，2）．
∴P点坐标为（1，1）或（2，2）或（1，4）或（-1，-2）或（2，-3）或（4，3）．

点评：本题考查了一次函数与平面直角坐标系交点的求解，考查了等腰直角三角形的腰长相等的性质．本题中分类讨论点P的位置是解题的关键．