题目内容
4．如图①，线段AB=10，E为AB上任意一点，分别以AE、BE为边在AB的同侧作等边△ADE和等边△BCE，连接AC，DB．交于点O．（1）判断AC，BD的数量关系和∠AOD的大小，并说明理由．
（2）如图②，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，判断四边形PQMN的形状，并说明你的理由．
（3）计算四边形PQMN的周长的最大值；并直接写出四边形PQMN的面积的最大值．
（4）如图③，将△BCE绕着点E顺时针旋转，其它条件不变，四边形PQMN的周长和面积的最大值分别为多少，并说明你的理由．
分析 （1）将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB，可知△AEC≌△DBC，推出AC=BD，∠AOD可看作△AOB的外角，利用外角的性质，全等的性质，将角进行转化，得出∠AOD的度数
（2）由AEC≌△DEB得AC=DB，根据AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，可证PQ=MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ∥MN∥AC，四边形PQMN为平行四边形，邻边相等的平行四边形可以判定为菱形；
（3）首先由PN∥BD，AC∥MN，推出∠MNP=∠CFP=∠AOD=60°，当点A、点E重合时，四边形PQMN的周长最大，面积最大．
（4）首先证明四边形PQMN是有一个内角为60°的菱形，由图象可知，当点A、点E、点C共线时，四边形PQMN的周长最大，面积最大．
解答 解：（1）如图1中，将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB．
∴△AEC≌△DBC，
∴∠DBC=∠AEC，AC=BD
又∠AOD是△AOB的外角，
∴∠AOD=∠DBC+∠CAE=∠AEC+∠CAE=∠ECB=60°．
（2）如图2中，四边形PQMN为菱形．
理由：连接AC、BD，
∵AE=DE，∠AEC=∠DEB，CE=BE，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=DB，
∵AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，
∴PQ=MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ∥MN∥AC，
∴四边形PQMN为平行四边形，
同理MQ=$\frac{1}{2}$BD，
∴MQ=PQ，
∴四边形PQMN为菱形；
（3）如图2中，AC与BD交于点O，AC与PN交于点F，由（1）可知，∠AOD=60°，
∵PN∥BD，AC∥MN，
∴∠MNP=∠CFP=∠AOD=60°，
当点A、点E重合时，四边形PQMN的周长最大，面积最大，
此时AC=AB=10，PQ=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴四边形PQMN的周长最大值为20，面积最大值为$\frac{25\sqrt{3}}{2}$．
（4）如图3中，
连接AC、BD，AC与BD交于点O，AC与PN交于点F，
∵AE=DE，∠AEC=∠DEB，CE=BE，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=DB，
∵AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，
∴PQ=MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ∥MN∥AC，
∴四边形PQMN为平行四边形，
同理MQ=$\frac{1}{2}$BD，
∴MQ=PQ，
∴四边形PQMN为菱形．
∵∠OCE=∠OBE，
∴∠COB=∠CEB=60°，
∵PN∥BD，AC∥MN，
∴∠MNP=∠CFP=∠AOD=60°，
当点A、点E、点C共线时，四边形PQMN的周长最大，面积最大，
此时四边形PQMN的周长最大值为25，面积最大值为$\frac{25\sqrt{3}}{2}$．
点评 本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，本题中求证AC=BD，∠AOD=60°是解题的关键，属于中考压轴题．
名校课堂系列答案| A． | 1 | B． | 0.5 | C． | -0.5 | D． | 2 |
| A． | 横排，每行分别为4、3、4、3、4、3 | B． | 横排，每行分别为4、4、4、4、4、3 | ||
| C． | 竖排，每列分别为5、4、5、4、5 | D． | 竖排，每列分别为5、5、5、5、4 |
| A． | 0 | B． | -1 | C． | 2 | D． | 4 |
如图，25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为7米，如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向外移多少米？