Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，四边形是平行四边形．现将沿轴方向平移个单位，得到，抛物线经过点，，．

（1）若抛物线的对称轴为直线，求抛物线的解析式；

（2）抛物线的顶点为，若以，，为顶点的三角形的面积等于的面积的一半，求的值；

（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）根据题意，先求出a的值，然后得到二次函数的解析式，然后得到平移后的解析式；

（2）根据题意，先求出直线的解析式，然后根据面积公式，即可得到答案；

（3）点A、C1、E作圆Q，则点Q在AC1的中垂线上，设点Q（m，），则求出m=1，然后根据勾股定理，即可求出t的值.

解：（1）由题意得，，，

∴设过点的抛物线的解析式为：，

把代入，

得．

∴．

∵平移之后过点、、的抛物线的顶点坐标．

∴抛物线的解析式为．

（2）由题意得，平移个单位后，，．

设直线:，把点，代入，

得，

∴．

令，得，

∵，

∴，

解得：．

（3）存在，理由：

由（2）知点C（-1，3），点A（-1，0），则AC⊥x轴，

故点A、C1、E作圆Q，则点Q在AC1的中垂线上，设点Q（m，），

则此时，∠C1PA=∠C1EA，

由QC1=QE得：（m+1）2+（3-）2=（m-1）2+（1+）2，

解得：m=1，

则点Q（1，），设点P（0，t），

由QP=QE得：1+（-t）2=（）2，

解得：，

故点P的坐标为：或．