Question

【题目】如图，经过原点的抛物线与直线交于，两点，其对称轴是直线，抛物线与轴的另一个交点为，线段与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标；

（2）若点为线段上一点，且，点为线段上不与端点重合的动点，连接，过点作直线的垂线交轴于点，连接，探究在点运动过程中，线段，有何数量关系？并证明所探究的结论；

（3）设抛物线顶点为，求当为何值时，为等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）；点的坐标为；（2），理由见解析；（3）或

【解析】

（1）先求出a、b的值，然后求出解析式，再求出点D的坐标即可；

（2）由题意，先求出点E的坐标，然后证明，得到，结合勾股定理，即可得到答案；

（3）根据题意，可分为三种情况进行或或，分别求出三种情况的值即可．

解：（1）∵抛物线经过原点，

∴．

又抛物线的对称轴是直线，

∴，解得：．

∴抛物线的解析式为：．

令，

解得：，．

∴点的坐标为．

（2）线段、的数量关系为：．

证明：由抛物线的对称性得线段的中点为，

如图①，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

过点作轴于，则．

∵，∴，

∵，∴．

∴．

在与中，

∵，，

∴，

∴，

∴．

在中，由勾股定理得：，

∴．

（3）由，

∴顶点坐标为．

若为等腰三角形，可能有三种情形：

（I）若．如图②所示：

连接交轴于点，则，

∵，

∴．

设，则．

在中，由勾股定理得：，

∴，

解得：，

∴，，

∴，即点M的纵坐标为；

令，则，

∴，即ON=2，

∴OF=，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

在Rt△OPF中，由勾股定理，得

,

∴，

∴．

（II）若．如图③所示：

此时，

∴，

∴，

由（I）知，，，

在Rt△OPF中，由勾股定理，得

，

∴

∴．

（III）若．由抛物线对称性可知，此时点与原点重合．

∵，点在直线上方，与点在线段上运动相矛盾，

故此种情形不存在．