Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+3与x轴的一个交点为点A，与y轴的交点为点B，抛物线的对称轴l与x轴交于点，与线段AB交于点E，点D是对称轴l上一动点．

（1）点A的坐标是　 　，点B的坐标是　 　；

（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，抛物线的对称轴l向右平移与线段AB交于点F，与抛物线交于点G，当四边形DEFG是平行四边形且周长最大时，求出点G的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）（6，0），（0，3）；（2）存在，或；（3）G的横坐标为．

【解析】

（1）令x＝0,则y＝3,令y＝0,则x＝6或﹣1,即可求解;

（2）分∠BDE＝90、∠EBD＝90°、∠BED＝90°三种情况,分别求解即可;

（3）列出四边形的周长的函数表达式，即可求解.

解：（1）令x＝0,则y＝3,令y＝0,则x＝6或﹣1,

故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3）,

故答案为：（6，0）；（0，3）;

（2）存在，理由如下:

对称轴,则,

由点A、B的坐标得，直线AB的解析式为,

当时,,

∴,

①当∠BDE＝90°时,

∴BD∥CA,

∴△BDE∽△ACE,

∴,

∴,

∴;

②当∠EBD（D2）＝90°时,

∵∠EBD2＝∠ACE＝90°,∠BED2＝∠AEC,

∴△BED∽△CEA,

由①可知：;

同理：△BED1∽△D2BD1，

∴,

即,得D2D1＝5,

∴;

③当∠BED＝90°时,不合题意舍去.

综上所述或.

（3）过点F作FH⊥CD于点H,

设.

∴,

.

∵BO∥CD,

∴∠OBA＝∠CEF,

∵∠BOA＝∠EHF＝90°,

∴△BOA∽△EHF，,

∵,

则,

设四边形的周长为CDEFG，则,

∵a＝﹣1＜0，

∴时平行四边形周长最大,

∴G的横坐标为.