Question

【题目】如图，二次函数(其中)的图像与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)点的坐标为　　，　　；

(2)若为的外心，且与的面积之比为，求的值；

(3)在(2)的条件下，试探究抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）令，结合点A在x轴的负半轴，即可得到点A、B的坐标；然后求出点C的坐标，得到，即可得到答案；

（2）由点D是外心，则，得到为等腰直角三角形，则，利用相似三角形的性质，即可得到答案；

（3）根据题意，可分为两种情况进行分析，分别求出每一种情况的坐标，即可得到答案．

解：（1）令，则，

解得：，.

，.

令，则，

，

.

，

为等腰直角三角形，且；

（2）为的外心，

，且.

为等腰直角三角形.

.

.

，

.

（3）存在，点的坐标为或，过程如下：

，

，

，且抛物线的对称轴为直线.

作的外接圆，设与的另一个交点为.

为的外心，

，且在上.

点与点关于对称，

.

易证，

.

即为满足条件的一个点.

在轴上取点，易证，

.

，，

.

由

解得：或

.

综合上述，点的坐标为或．