Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若EF=4，AC⊥BC，四边形AECF的面积为10，求sinB的值．

Answer 1

考点：梯形,菱形的判定,解直角三角形

专题：

分析：（1）运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO=OC，只需要证明OE=OF即可，用全等三角形得出；
（2）先求出AC，根据AC⊥BC，可得出EFCB是平行四边形，从而可得出BC=EF=4，在Rt△ABC中，可求出sinB的值．

解答：解：（1）
∵AB∥DC，
∴∠1=∠2，
∵在△CFO和△AEO中，

∠1=∠2 ∠FOC=∠EOA OC=OA

，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．

（2）∵EF⊥AC，AC⊥BC，
∴四边形EFCB是平行四边形，
∴BC=EF=4，
又∵四边形AECF的面积为10，
∴AC=5，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

41

，
则sinB=

AC

AB

=

5

41

=

5 41

41

．

点评：本题考查了梯形的知识，难点在第二问，注意掌握菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，难度一般．