Question

20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠A=80°，∠C=30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B=80°，∠C=40°，求∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果只知道∠B-∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据∠A=80°，∠C=30°，求得∠B的度数，再根据AE平分∠BAC，得到∠BAE的大小．再根据垂直定义，在直角△ABD中，可以求得∠BAD的度数，即可求解∠DAE的大小．
（2）根据AE平分∠BAC，得到∠BAE的大小．再根据垂直定义，在直角△ABD中，可以求得∠BAD的度数，即可求解∠DAE的大小．
（3）根据AE平分∠BAC，得到∠BAE．再根据垂直定义，在直角△ABD中，可以求得∠BAD，即可求得∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

解答 解：（1）∵∠A=80°，∠C=30°，
∴∠B=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=20°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°；

（2）∵∠B=80°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=10°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-10°=20°；

（3）能求得∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）=20°．
理由：∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C），
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）=20°．

点评 主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和垂直的定义，综合利用了直角三角形的性质．解题时注意：三角形内角和是180°．