Question

19．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（8，0）和（8，4），若点M、N分别是OA、OB上的动点，当AN+MN取最小值时，点N的坐标为（$\frac{24}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

Answer 1

分析 作A关于OB的对称点D，过D作DM⊥OA于M，此时AN+MN的值最小，根据三角形面积求出AC，得出AD，证明△ADM∽△BOA求出AM，得出OM，再由平行线的性质得出比例式求出MN即可．

解答 解：作A关于OB的对称点D，过D作DM⊥OA于M交OB于N，如图所示：
则此时AN+MN=DM的值最小，AD⊥OB，DC=AC，DM∥AB，
∵DN=AN，
∴AN+MN=DN+MN=DM，
∵B（8，4），
∴OB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵△AOB的面积=$\frac{1}{2}$OA•AB=$\frac{1}{2}$OB•AC，
∴AC=$\frac{OA•AB}{OB}$=$\frac{8×4}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴AD=2AC=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∵DM∥AB，
∴∠ADM=∠BAC=∠AOB，
又∵∠AMD=∠BAO=90°，
∴△ADM∽△BOA，
∴$\frac{AM}{BA}=\frac{AD}{OB}$，
即$\frac{AM}{4}=\frac{\frac{16\sqrt{5}}{5}}{4\sqrt{5}}$，
解得：AM=$\frac{16}{5}$，
∴OM=OA-AM=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∵DM∥AB，
∴$\frac{MN}{OM}=\frac{AB}{OA}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{12}{5}$，
∴点N的坐标为（$\frac{24}{5}$，$\frac{12}{5}$）；
故答案为：（$\frac{24}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，三角形相似的判定和性质，关键是求出N点的位置，有一定难度．