Question

10．某市为方便相距2km的A、B两处居民区的交往，修筑一条笔直的公路（如图：AB），经测量，在A处的北偏东60°方向，B处北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的公路会不会穿过公园？请说明理由．

Answer 1

分析 先过点C作CD⊥AB于D，设CD为xkm，则BD为xkm，AD为$\sqrt{3}$xkm，则有x+$\sqrt{3}$x=2，求出x的值，再与0.7比较大小，即可得出答案．

解答 解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
由题意可得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，
在Rt△CDB中，∠BCD=45°，
∴∠CBA=∠BCD，∴BD=CD．
在Rt△ACD中，∠CAB=30°，
∴AC=2CD．
设CD=DB=x，
∴AC=2x．
由勾股定理得AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{4{x}^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$x．
∵AD+DB=2，
∴$\sqrt{3}$x+x=2，
∴x=$\sqrt{3}$-1．
即CD≈0.732＞0.7，
答：计划修筑的这条公路不会穿过公园．

点评 此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．