Question

15．如图所示，一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，试求经过B、C两点的直线的函数表达式．

Answer 1

分析 根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，得出OA=3，OB=2，作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，AD=OB，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式．

解答 解：一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+2中，
令y=0，解得x=3．
则点A的坐标是（3，0）．
令x=0得y=2．
则点B的坐标是（0，2）．
∴OA=3，OB=2，
作CD⊥x轴于点D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
在△ABO与△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOA=∠CDA=90°}\\{∠ACD=∠BAO}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=OB=2，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=5．
则点C的坐标是（5，3）．
设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{5k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
则直线BC的解析式是：y=$\frac{1}{5}$x+2．

点评 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．