Question

8．如图，点O为等边△ABC内一点，OA=2$\sqrt{5}$，OC=$\sqrt{15}$，连接BO并延长交AC于点D，且∠DOC=30°，过点B作BF⊥BD交CO延长线于点F，连接AF，过点D作DE⊥AF于点E，则DE=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 过点C作CM⊥CF交BD延长线于点M，连接AM，由∠BMC=∠BAC=∠BFC=60°知A、F、B、C、M五点共圆，证∠AMB=60°、OM=OA=2$\sqrt{5}$得△AOM是等边三角形，由∠AOM=60°=∠OMC知MC∥AO，得$\frac{DM}{OD}$=$\frac{CM}{AO}$=$\frac{CM}{OM}$=$\frac{1}{2}$，从而有OD=$\frac{2}{3}$OM=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$、DM=$\frac{1}{3}$OM=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，由A、F、B、M四点共圆证△ODG是等边三角形，得AG=OA-OG=OM-OD=DM=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$、EG=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，根据DE=DG+EG=OD+EG得出答案．

解答 解：过点C作CM⊥CF交BD延长线于点M，连接AM，

∵∠DOC=30°，
∴∠BMC=∠BAC=∠BFC=60°，
∴A、F、B、C、M五点共圆，
∴∠AMB=∠ACB=60°，
∵OC=$\sqrt{15}$、∠COD=30°，
∴OM=$\frac{OC}{cos∠COD}$=2$\sqrt{5}$=OA，
∴△AOM是等边三角形，
∴∠AOM=60°，
∵∠AOM=60°=∠OMC，
∴MC∥AO，
∴$\frac{DM}{OD}$=$\frac{CM}{AO}$=$\frac{CM}{OM}$=$\frac{1}{2}$，
∴OD=$\frac{2}{3}$OM=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，DM=$\frac{1}{3}$OM=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∵A、F、B、M四点共圆，
∴∠FAM=180°-∠FBM=90°，
∴∠EAG=∠FAM-∠OAM=30°，
∴∠OGD=∠AGE=60°，
∴△ODG是等边三角形，
∴AG=OA-OG=OM-OD=DM=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴EG=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴DE=DG+EG=OD+EG=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
故答案为：$\frac{5\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题主要考查等边三角形的判定与性质、四点共圆、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，熟练掌握四点共圆与等边三角形的判定与性质是解题的关键．