Question

14．如图，在梯形AEDB中，BD∥AE，∠ABD=90°，在AB的右侧作Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，且∠ECD=45°
（1）求证：BC²=BD•AE；
（2）试判断以BD、AE、DE为三边组成的三角形形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）只要证明△CDB∽△ECA，可得$\frac{BC}{EA}$=$\frac{DB}{AC}$，由此即可证明；
（2）以BD、AE、DE为三边组成的三角形是直角三角形．将△CDB绕点C顺时针旋转90°得到△CAH，只要证明△ECD≌△ECH，推出ED=EH，由∠EAH=90°，推出AE²+AH²=EH²，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：∵CB=CA，∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵AE∥BD，∠ABD=90°，
∴∠EAB=180°-∠ABD=90°，
∴∠DBC=∠CAE=135°，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCB+∠ECA=45°，∠ECA+∠CEA=45°，
∴∠DCB=∠CEA，
∴△CDB∽△ECA，
∴$\frac{BC}{EA}$=$\frac{DB}{AC}$，
∴BC•AC=BD•AE，
∵BC=AC，
∴BC²=BD•AC．

（2）解：以BD、AE、DE为三边组成的三角形是直角三角形．
理由：将△CDB绕点C顺时针旋转90°得到△CAH，
∵∠CAH=∠CBD=135°，∠BAC=45°，
∴∠CAH+∠BAC=180°，
∴B、A、H共线，
∵CE=CE，∠ECD=∠ECH=45°，CD=CH，
∴△ECD≌△ECH，
∴ED=EH，
∵∠EAH=90°，
∴AE²+AH²=EH²，
∵DB=AH．ED=EH，
∴AE²+BD²=DE²，
∴以BD、AE、DE为三边组成的三角形是直角三角形．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．