Question

19．已知方程x²-2x-1=0的两根是x₁，x₂，不解方程，求下列各式的值：
（1）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（2）（x₁-2）（x₂-2）．

Answer 1

分析 （1）通分后将${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$变形为（x₁+x₂）²-2x₁x₂，再代入即可；
（2）按多项式乘法法则进行计算，并代入即可．

解答 解：∵方程x²-2x-1=0的两根是x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，
（1）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
=$\frac{{{x}_{2}}^{2}{{+x}_{1}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
=-$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{1}$，
=-（-2）²+2×1，
=-4+2，
=-2；
（2）（x₁-2）（x₂-2）．
=x₁x₂-2x₁-2x₂+4，
=-1-2（x₁+x₂）+4，
=-1-2×2+4，
=-1．

点评 本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，找出x₁+x₂=2、x₁•x₂=-1是解题的关键．