Question

20．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，且BC=2AF．
（1）求证：四边形ADFE为矩形；
（2）若∠C=30°，AF=2，写出矩形ADFE的周长．

Answer 1

分析 （1）连接DE．根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到∠BAC=∠FEC=90°，解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：连接DE．
∵E，F分别是边AC，BC的中点，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∵点D是边AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB．
∴AD=EF．
∴四边形ADFE为平行四边形；
由点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC．
∵BC=2AF，
∴DE=AF，
∴四边形ADFE为矩形；
（2）解：∵四边形ADFE为矩形，
∴∠BAC=∠FEC=90°，
∵AF=2，
∴BC=4，CF=2，
∵∠C=30°，
∴AC=2$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{3}$，EF=1，
∴AE=$\sqrt{3}$，
∴矩形ADFE的周长=2$\sqrt{3}$+2．

点评 本题考查了矩形的性质和判定，三角形的中位线的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．