Question

9．已知二次函数y=x²+mx+n（m，n为常数）．
（1）若m=-2，n=-4，求二次函数的最小值；
（2）若n=3，该二次函数的图象与直线y=1只有一个公共点，求m的值；
（3）若n=m²，且3m+4＜0，当x满足m≤x≤m+2时，y有最小值13，求此二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）将m=-2，n=-4代入二次函数y=x²+mx+n，易得二次函数的最值；
（2）将n=3代入y=x²+mx+n，令y=1可得x²+mx+3=1，利用根的判别式，可得△=m²-8=0，解得m；
（3）根据已知3m+4＜0，可得m的取值范围，因为n=m²，可得抛物线y=x²+mx+m²的对称轴为x=$-\frac{m}{2}$，可得对称轴的取值范围，根据该二次函数的增减性可得当x=m+2，y有最小值为13，易得（m+2）²+m（m+2）+m²=13，解得m，根据m的取值范围确定m的值．

解答 解：（1）当m=-2，n=-4时，y=x²-2x-4=（x-1）²-5
∴当x=1时，y最小值=-5；

（2）当n=3时，y=x²+mx+3，
令y=1，则x²+mx+3=1，
由题意知，x²+mx+3=1有两个相等的实数根，
则△=m²-8=0，
∴m=$±2\sqrt{2}$；

（3）由3m+4＜0，可知m$＜-\frac{4}{3}$，
∴m≤x≤m+2$＜\frac{2}{3}$，
抛物线y=x²+mx+m²的对称轴为x=$-\frac{m}{2}$，
∵m$＜-\frac{4}{3}$，
∴$-\frac{m}{2}$$＞\frac{2}{3}$，
∴对称轴为x=$-\frac{m}{2}$$＞\frac{2}{3}$，
∴在m≤x≤m+2时，y随x的增大而减小，
∴当x=m+2，y有最小值为13，
∴（m+2）²+m（m+2）+m²=13，
即m²+2m-3=0，
解得m=1或m=-3，而m$＜-\frac{4}{3}$，
∴m=-3，
此时，y=x²-3x+9．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，结合已知条件确定m的值是解答此题的关键．